2020年やりたいことの追記

2020年元旦に、今年やりたいことを記しました。 しかし、1つ書いたと思って書いていなかったことがあったので、本日の記事で追加したいと思います。

（離散）Morse理論とパーシステントホモロジー群の勉強をしたい。

Morse理論は、トポロジー分野の理論で、かなり大雑把に言えば、関数の臨界点*1を扱う学問です。 臨界点を数学的に扱うことは、色々な問題を解くのに役立つと個人的には思っています。

Morse理論を勉強するには、トポロジーの基礎が必要です。 トポロジーの基礎はかなり以前ですが、現代数学ゼミナールシリーズの『トポロジー』（小林貞一著）で勉強しました。 個人的な印象では、この本を教科書にしている講義はあまりないような気がしますが、コンパクトで程よい入門書だと思います。

トポロジー (現代数学ゼミナール　３)

Morse理論については、『モース理論ー多様体の解析学とトポロジーとの関連』（J. ミルナー著）が名著です。 ぜひ読破したいです。

モース理論―多様体上の解析学とトポロジーとの関連 (数学叢書 (8))

モース理論―多様体上の解析学とトポロジーとの関連 M.SpivakとR.Wellsによってノートされた講義録に基づく POD版

離散Morse理論は、名前から想像できるように離散版のMorse理論です。 Morse理論が多様体が舞台であるのに対して、離散Morse理論はCW複体（単体的複体より一般的な複体）が舞台となります。 こちらもかなり以前ですが、Forman, R. (2002). A user’s guide to discrete Morse theory. Sém. Lothar. Combin, 48, 35pp. で勉強しました。 しかし、かなり忘れてしまっていますし、理論も進歩し最近出版された本もあるようですので、チェックしたいと思います。

Discrete Morse Theory (Student Mathematical Library)

Morse Theory: Smooth and Discrete

一方、パーシステントホモロジー群は、図形をその穴に着目して特徴づけるホモロジー群をベースとし、単体的複体のフィルトレーション（増大列）に対してホモロジー群に似たような概念を導入したものと、僕は現時点では思っています。 ただし、まだ勉強を始めていないので間違っているかもしれません。 こちらについては、まずは数少ない日本語で読める入門書である『タンパク質構造とトポロジー』（平岡裕章著）を読破したいと思います。

タンパク質構造とトポロジー ―パーシステントホモロジー群入門― (シリーズ・現象を解明する数学)

僕は以前から、大きく見ると「離散版の解析学・統計学」を研究してきているので、今回紹介しました「離散Morse理論」や「パーシステントホモロジー群」を自在に扱えるようになれば、研究手法の幅が広がるのではないか、と思っています。 読みたい文献・読むべき文献が多いので、かなり重点的に時間をつぎ込みたいと考えています。

*1:「導関数=0」となる点