平均値を累積分布関数で表現する方法

平均値を確率密度関数を用いて表現する方法はどの教科書にも載っています（平均値の定義そのものですが）が，分布関数を用いて表現する方法はあまり載ってないとないかと思います．結構便利なので，証明とともにメモを作ってみました．

\(x>0\) 上で定義された確率変数 \(X\) の累積分布関数を \(F(x) \ (x>0)\) とし，確率密度関数 \(f(x) \ (x>0)\) と平均値 \(\mu\) が存在するとする．このとき，次が成立する． \[ \mu = \int_0^{\infty} \left(1 - F(x)\right) \, dx \label{eq:mean_prob} \]

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